Los números tras el fuego

Todo el mundo sabe que el fuego es dañino. Algunos lo aprendieron escuchando a sus sabios padres; otros lo hemos aprendido de la más cruel de las maneras. En el mundo de Etheria, a pesar de la naturaleza mágica de este elemento, este hecho no es diferente y a ningún mago en su sano juicio le apetece convertirse en una falla viviente. En esta entrada vamos a usar las Matemáticas para predecir el daño que inflige el fuego en Mage Wars.

Supongamos que un malévolo Warlock ha conseguido colocarnos un contador de fuego mediante su terrorífico Lash of hellfire (este Warlock fue prudente, leyó la entrada Iniciándose en Mage Wars y se compró el tomo de hechizos 2 para tener una copia extra de su látigo). ¿Cuánto daño podemos esperar que realice el contador a lo largo de la partida?

Antes de empezar a escribir números y fórmulas matemáticas, vamos a recordar qué es un contador de fuego. El manual de reglas define este contador como: "El objeto está en llamas. En cada fase de mantenimiento, tira un dado de ataque de daño directo por cada contador de fuego en cada objeto. Si el resultado es 0, quita el contador. El coste de eliminación de cada contador de fuego es de 2".

En un turno dado, el contador de fuego inflige 0, 1 ó 2 puntos de daño dependiendo del resultado de la tirada de un dado de ataque. En esta tirada no hacemos distinción entre daño normal y daño crítico porque el daño que realiza el fuego es directo e ignora la armadura. Por tanto, si consideramos la variable aleatoria D = daño recibido por el fuego en el turno actual, su valor medio o esperanza será:

E[D] = 0 · 2/6 + 1 · 2/6  + 2 · 2/6 = 0 + 1/3 + 2/3 = 1

Luego esperamos que el fuego, en un turno cualquiera, nos inflija 1 punto de daño. Esto podría llevarnos a pensar que cada turno recibiremos 1 punto de daño debido al contador, lo que a lo largo de los turnos supondría un verdadero problema. Sin embargo, no debemos olvidar que cada turno existe una probabilidad de que el fuego se apague y que es igual a 1/3, dato que debemos incorporar a nuestra cuenta. Si en el presente turno, llamémosle T0, nos quemamos por vez primera, recibiremos una media de 1 punto de daño. En el siguiente turno, T1, recibiremos 1 punto de daño multiplicado por la probabilidad de que en T0 no hayamos obtenido un 0 en el dado y que es 2/3, para un total de 1 · 2/3 = 2/3. En el siguiente turno, T2, recibiremos 1 punto de daño multiplicado por la probabilidad de no haber sacado un 0 ni en T0 ni en T1: 1· 2/3 · 2/3 = 4/9. Y así sucesivamente: en cada nuevo turno multiplicamos otra vez por 2/3.

Al final, el daño esperado a lo largo de los turnos, Dtotal, es la suma del daño esperado en T0, T1, T2... Ésta es una suma de infinitos términos (llamada serie en Matemáticas) y su expresión es la siguiente:

Debéis hacer un acto de fe y creer en vuestro Gran Archimago favorito

Ya tenemos un resultado teórico. Se puede considerar que cada contador de fuego infligirá 3 puntos de daño a su víctima si se le da el suficiente tiempo. Pero antes de dar por concluida la entrada quiero realizar un par de apuntes:

-Una vez más, este resultado es una media. Habrá unas veces en las que el fuego se apague desde el primer instante y  otras en las que turno tras turno infligirá 2 puntos de daño. Y seguramente en ambas ocasiones os acordéis de mí y de mi estirpe. Pero repito lo dicho anteriormente: con un solo contador puede pasar cualquier cosa, con diez millones de ellos los resultados se aproximarán a la media. Así que no quiero insultos hasta que no llevéis jugadas diez millones de partidas.

-En realidad, el resultado experimental será un poco inferior a 3. ¿Por qué ocurre esta discrepancia entre la teoría y la práctica? Porque las partidas no duran infinitos turnos, salvo que tu rival sea el autoproclamado Supremo Sacerdote Shadowblade y utilice su legendaria capacidad de manipulación del espacio-tiempo. En cualquier otro caso, las partidas acabarán antes y la suma tendrá un número finito de términos. Pero la diferencia entre ambos resultados será pequeña (por ejemplo: la suma de los primeros seis términos ya da como resultado 2,74 y cada vez se aproximará más a 3). En futuras entradas utilizaremos el valor teórico obtenido, 3, para realizar cálculos.

Esta imagen resume la entrada a la perfección